Sokszínű matematika 6.

You opened the following content with a FREE account. If you want to access to all content of the page please register, log in, then purchase a licence code or enter a code printed in one of your textbooks.
7. Prímszámok, összetett számok
Mi alapján
repülhetnek
magasan, illetve
alacsonyan
a léggömbök?
A természetes számok csoportosítása az osztók száma szerint
1. példa
Soroljuk fel a   18 ;   24 ;   25 ;   29 ;   37 ;   2 ;   1 ;   0   osztóit!
Mely számoknak van kettőnél több osztója?
Megoldás
18 osztói: 1 ;   2 ;   3 ;   6 ;   9 ;   18 .
24 osztói: 1 ;   2 ;   3 ;   4 ;   6 ;   8 ;   12 ;   24 .
25 osztói: 1 ;   5 ;   25 .
29 osztói: 1 ;   29 .

Minden 1 -nél
nagyobb
természetes
számnak
(nem valódi)
osztója
1 és önmaga.
37 osztói: 1 ;   37 .
  2 osztói: 1 ; 2 .
  1 osztói: 1 .
  0 osztói: 0 ;   1 ;   2 ;   3 ;   4 ;   5 ;   6 ;   7 ;   ...  .
A 18 ;   24 ;   25 számoknak 2 -nél több (véges számú), a 0 -nak pedig végtelen sok osztója van.
Összetett számoknak nevezzük azokat az 1 -nél nagyobb ter­mé­sze­tes számokat, amelyeknek kettőnél több osztójuk van.
Püthagorasz
és tanítványai
az összetett számokat
téglalapszámoknak,
a prímszámokat
vonalszámoknak
nevezték.
Vannak olyan számok, pl. a 2 ; 29 ; 37 , amelyeknek pontosan két osztójuk van. Ezek a prímszámok (vagy törzsszámok).
Prímszámoknak (törzsszámoknak) nevezzük azokat a természetes számokat, amelyeknek pontosan két osztójuk van.
Se nem prím, se nem összetett szám a(z)
1 , mert pontosan 1 pozitív osztója van,
0 , mert végtelen sok osztója van (minden természetes szám osztója).
Prímszámok 1–100-ig
A prímszámok megkeresésére többféle eljárás ismert. Ezek közül a leg­ré­geb­bi az ún. Eratoszthenész szitája.
Az eljárás lényege a következő:
1.
Felsoroljuk a számokat 1 -től 100 -ig.
2.
Ezután a felsorolásból az alábbi módon „kiszitáljuk” (áthúzzuk)
azokat a számokat, amelyek nem prímszámok.
Először elhagyjuk az 1 -est, mivel nem prímszám.
A 2 -es fennmarad a rostán, mert prímszám (karikázással jelöljük). A további 2 -vel osztható számok (így a 4 ; 6 ; 8 és 10 többszörösei is) kiesnek a szitán (áthúzzuk).
A 3 nem többszöröse a 2 -nek (nem esett ki a szitán), a 3 prímszám.
A további 3 -mal osztható számokat (így a 6 és 9 többszöröseit is) kiszitáljuk.
Mivel 100 = 10 · 10 ,
ezért a 100 -nál
kisebb számok
bármely kéttényezős
felbontásában
az egyik tényező
biztosan
kisebb 10 -nél.
Az 5 sem a 2 -nek, sem a 3 -nak nem többszöröse, az 5 prímszám. A további 5 -tel osztható számokat kiszitáljuk.
A 7 nem többszöröse az előző prímszámok egyikének sem, a 7 prímszám. A további 7 -tel osztható számokat kiszitáljuk.
A 10 -nél nagyobb osztókat már nem kell vizsgálni, mert a 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 és a 9 többszöröseit kiszitáltuk.
Ezzel az eljárással 100 -ig az összes összetett számot kiszitáltuk.
A szitán a 100 -nál kisebb prímszámok maradtak fenn:
2 ;   3 ;   5 ;   7 ;   11 ;   13 ;   17 ;   19 ;   23 ;   29 ;   31 ;   37 ;   41 ;   43 ;
47 ;   53 ;   59 ;   61 ;   67 ;   71 ;   73 ;   79 ;   83 ;   89   és   97 .
Az eljárás hasonlóan folytatható 100 -nál nagyobb számokra is.
2. példa
Hány osztója van a
a)
72 -nek;
b)
16 -nak;
c)
71 -nek?
Melyik prímszám, melyik összetett szám?
Megoldás
Írjuk fel a számok osztóit osztópárjaik segítségével!
A 71 nem osztható
2 -vel, 3 -mal, 5 -tel
és 7 -tel.



Az összetett
számoknak van
valódi osztójuk,
a prímszámoknak
csak nem valódi
osztójuk van.
A 72 -nek 12 , a 16 -nak 5 osztója van, ezért a 72 és a 16 összetett számok. A 71 -nek 2 osztója van, a 71 prímszám.


Készítsetek
kiselőadásokat
a felvetett témákról!
Érdemes megfigyelni, hogy az összetett számok között van olyan, a­me­lyik­nek páros számú osztója van. Pl. a 72 -nek 12 db osztója van (osztópárjai kü­lön­bö­ző számokból állnak).
A négyzetszámoknak páratlan számú osztójuk van. Pl. a 16 -nak 5 db osztója van (osztópárjai között van olyan, amelyben mindkét szám azonos).
Érdekességek a számelmélet történetéből
Eratoszthenész (Kr. e. 276–194), aki a prímszámok megkeresésének módszerét kidolgozta, sok­ol­da­lú tudós volt. Többek között kidolgozott egy ötletes mérési módszert, melynek alapján ki tudta szá­mí­ta­ni a Föld sugarát. Számításának pontossága ma is elismerésre méltó. Kr. e. 240-től haláláig a híres alex­and­ri­ai könyvtár könyvtárosaként dolgozott.
Azt, hogy végtelen sok prímszám van, Euklidész (Kr. e. 325?–265) bizonyította be.
A püthagoreusok a prím- és az összetett számok vizsgálata során különleges tulajdonságú számokra is bukkantak.
Ikerprímek azok a prímszámok, amelyeknek a különbsége 2 . Például a 11 és a 13 , vagy a 17 és a 19 stb. Az ikerprímek között csak egyetlen „hármasiker” van, a 3 ; 5 és 7 .
Tökéletes szám az a szám, amely egyenlő az önmagánál kisebb osztóinak az összegével.
Ilyen például
 
a 6 , mert 1 + 2 + 3 = 6 , ahol 1 ; 2 ; 3 a 6 önmagánál kisebb osztói;
 
a 28 , mert 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28 , ahol 1 ; 2 ; 4 ; 7 ; 14 a 28 önmagánál kisebb osztói.
Barátságos szám két szám, ha mindkét számra igaz, hogy az egyik szám önmagánál kisebb osztóinak az összege egyenlő a másik számmal. Barátságos számok például a 220 és 284 , mert
 
a 220 osztóinak összege: 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284 ;
 
a 284 osztóinak összege: 1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220 .
A prímszámoknak napjainkban is fontos szerepe van például a számítógépes titkosítások, kódolások terén.
Feladatok
1.
Keressük meg a 100 -nál nagyobb, de 150 -nél kisebb prímszámokat!
2.
Keressünk olyan összetett számokat, amelyeknek páratlan számú pozitív osztójuk van!
3.
Hány olyan 400 -nál kisebb pozitív egész szám van, amelynek páratlan számú pozitív osztója van? Írjuk fel növekvő sorba! Mit mondhatunk ezekről a számokról?
4.
Páros vagy páratlan
a)
az első 25 prímszám összege;
b)
az első 25 prímszám szorzata;
c)
az első 26 prímszám összege;
d)
az első 26 prímszám szorzata?
5.
Ábrázoljuk a megkezdett minta alapján az x ten­ge­lyen a természetes számokat, az y tengelyen pedig azok osztóit! ( )
6.
Adjuk össze a 496 önmagánál kisebb osztóit! Mit veszünk észre?
7.
A következő számkártyáink vannak:
Az összes számkártya felhasználásával állítsunk elő háromjegyű számokat! Mindhárom esetben válaszoljunk a következő kérdésekre!
A felírt háromjegyű számok között
1.
hány lesz páros;
2.
hány lesz 3 -mal osztható;
3.
melyek prímszámok;
4.
melyek összetett számok?
*8.
Válasszunk ki az számkártyák közül hármat úgy, hogy a belőlük alkotható háromjegyű számok
a)
mindegyike összetett szám legyen;
b)
között legalább két prímszám legyen!
9.
Ikerprímeknek nevezzük azokat a prímszámokat, amelyek különbsége 2 .
Keressünk ikerprímeket 100 és 200 között!
R e j t v é n y
Három prímszámról tudjuk, hogy a két kisebbnek az összege egyenlő a harmadikkal. Melyik az a szám, amelyik minden ilyen számhármasban szerepel?
于该课程相关的附加项

Added to your cart.