Sokszínű matematika 6.

You opened the following content with a FREE account. If you want to access to all content of the page please register, log in, then purchase a licence code or enter a code printed in one of your textbooks.
4. Oszthatósági szabályok
El tudják-e egyenlően
osztani a gyerekek
az ajándékkosár árát?
Az oszthatóság megállapítása az utolsó számjegy alapján
A 30 ; 140 és 4070 számok utolsó számjegye 0 . Ezek a számok felírhatók 30 = 3 ·  10 ;   140 = 14 · 10 ;   407 0 = 407 · 10 alakban, ezért oszthatók 10 -zel.
Ha egy természetes szám utolsó számjegye 0 , akkor osztható 10 -zel.
Ha egy természetes szám osztható 10 -zel, akkor felírható egy természetes szám tízszereseként. Például 5 · 10 = 5 0 ;   96 · 10 = 96 0 ;   230 · 10 = 230 0 .
Minden természetes szám tízszeresének utolsó szám­je­gye 0 .
Ha egy természetes szám osztható 10 -zel, akkor az utolsó számjegye 0 .
A két előbbi szabály együtt megfogalmazva:
Egy természetes szám pontosan akkor osztható 10 -zel, ha az utol­só számjegye 0 .
1. példa
Jóska sétálni indul. Melyik lábbal teszi meg a 21. , az 58. és a 387. lépést, ha az első lépést jobb lábbal teszi meg?
Megoldás
2 -vel
nem osztható
számok:
1; 3; 5; 7; 9; ...

2 -vel
osztható számok:
0; 2; 4; 6; 8; 10; ...
Jobb lábbal teszi meg az 1. , 3. , 5. , 7. , 9. , ... lépést.
Bal lábbal teszi meg a 2. , 4. , 6. , 8. , 10. , ... lépést, köztük a 10 valamennyi többszörösét is.
Minden további lépésszámot felbonthatunk olyan kéttagú összegre, melynek az első tagja 10 valamely többszöröse, a második tagja pedig egyjegyű szám.
Jóska a 21. és a 387. lépést jobb, az 58. lépést bal lábbal teszi meg.
Ha egy természetes szám utolsó számjegye   0 ;   2 ;   4 ;   6 vagy 8 , akkor osztható 2 -vel.
Ha egy természetes szám osztható 2 -vel, akkor az utolsó számjegye   0 ;   2 ;   4 ;   6 vagy 8 .
A két előbbi szabály együtt megfogalmazva:
Egy természetes szám pontosan akkor osztható 2 -vel, ha az utolsó számjegye 0; 2; 4; 6 vagy 8 .
2. példa
Gyöngyi egy könyvet olvasott, és észrevette, hogy minden olyan oldalon (és csak azokon) van kép, amelyek oldalszáma 5 -tel osztható. Soroljuk fel, hányadik oldalakon talált képet Gyöngyi, ha a könyv 84 oldalas! Mit veszünk észre?
Megoldás
35 = 3 · (2 · 5) + 5
A képet tartalmazó oldalszámok:
    
  5;  10;  15;  20;  25;  30;  35;  40;
45;  50;  55;  60;  65;  70;  75;  80.

Észrevehető, hogy azokon az oldalakon van kép, amelyek sorszáma 0 -ra vagy 5 -re végződik.
A 10 -nek osztója az 5.

A 10 -nek
osztója az 5.

Magyarázzuk meg a példában szereplő észrevételt!
A 0 -ra végződő számok ( 10; 20; 30; 40; 50; 60; ... ) tízzel oszthatók, ezért a 10 osztójával, az 5 -tel is oszthatók.
Az 5 -re végződő számokat felírhatjuk kéttagú összeg alakban:
Pl.:     15 = 10 + 5 ;     25 = 20 + 5 ;     35 = 30 + 5 ;     ... 75 = 70 + 5 .
Az összeg mindkét tagja osztható 5 -tel, ezért az összeg is osztható 5 -tel. A 0 -ra és az 5 -re végződő számok oszthatók 5 -tel.
Ha a szám 1; 2; 3; 4; 6; 7; 8; 9 -re végződik, akkor nem osztható 5 -tel.
31 = 3 · (2 · 5) + 1
Egy természetes
szám 5 -ös maradéka
megegyezik
utolsó jegyének
ötös maradékával.
Egy természetes szám pontosan akkor osztható 5 -tel, ha az utolsó számjegye 0 vagy 5 .
Az oszthatóság megállapítása az utolsó két számjegy alapján
Egy természetes szám pontosan akkor osztható 100-zal, ha az utolsó két számjegye nulla.
Ha egy szorzat egyik tényezője 100 , akkor a szorzat osztható 100 -zal és a 100 valamennyi osztójával, így a 4 -gyel, 25 -tel, 20 -szal és 50 -nel is.
3. példa
Állapítsuk meg az osztás elvégzése nélkül, hogy a 728 , az 5812 és az 5821 osztható-e 4 -gyel!
Megoldás
Ha egy természetes
szám utolsó két
számjegyéből álló
kétjegyű szám
osztható 4 -gyel,
akkor a szám
osztható 4 -gyel.
A számokat felírhatjuk kéttagú összeg alakban a következőképpen:
Ha egy természetes
szám osztható
4 -gyel, akkor
az utolsó két
számjegyéből álló
kétjegyű szám
osztható 4 -gyel.
A 728 és az 5812 osztható 4 -gyel, az 5821 nem osztható 4 -gyel.
Egy természetes szám pontosan akkor osztható 4 -gyel, ha az utolsó két számjegyéből álló kétjegyű szám osztható 4 -gyel.
Hasonlóan belátható, hogy egy természetes szám 20 -szal, 25 -tel és 50 -nel való oszthatóságának vizsgálatakor elég az utolsó két számjegyéből álló két­je­gyű számot vizsgálnunk.
Például a 3475 osztható 25 -tel, mert:
Egy természetes szám pontosan akkor osztható 25 -tel, ha az utolsó két számjegyéből álló kétjegyű szám osztható 25 -tel.
Egy természetes szám 4 -gyel osztva ugyanannyit ad maradékul, mint amennyit az utolsó két számjegyéből álló szám.
Pl.:
25 472 = 25 400 + 72 és 72 = 18 · 4 + 0 , tehát a 25 472 négyes maradéka 0 ;
25 469 = 25 400 + 69 és 69 = 17 · 4 + 1 , tehát a 25 469 négyes maradéka 1 .
Hasonlóan megmutatható, hogy egy természetes szám 20 -szal, 25 -tel, 50 -nel és 100 -zal osztva ugyanannyit ad maradékul, mint amennyit az utolsó két szám­je­gyé­ből álló szám.
Az oszthatóság megállapítása az utolsó három számjegy alapján
Egy természetes szám pontosan akkor osztható 1000 -rel, ha az utolsó három számjegye 0 .

Az 1000 -nek
osztója a 8 .
Ha egy szorzat egyik tényezője 1000 , akkor a szorzat osztható 1000 -rel és az 1000 valamennyi osztójával, így a 8 -cal, a 125 -tel, a 250 -nel és az 500 -zal is.
4. példa
Állapítsuk meg az osztás elvégzése nélkül, hogy az 5432 , a 17 128 és a 7324 osztható-e 8 -cal!
Megoldás
Írjuk fel a számokat kéttagú összeg alakban a következő módon:
Az 5432 és a 17 128 osztható 8 -cal, a 7324 nem osztható 8 -cal.
Egy természetes szám pontosan akkor osztható 8 -cal, ha az utolsó három számjegyéből álló háromjegyű szám osztható 8 -cal.
Hasonlóan belátható, hogy egy természetes szám 125 -tel, 200 -zal, 250 -nel és 500 -zal való oszthatóságának vizsgálatakor elég az utolsó három számjegyéből álló háromjegyű számot vizsgálnunk.
Például a 76 250 osztható 125 -tel, mert:
Az 1000 -nek
osztója a 125 .
Egy természetes szám pontosan akkor osztható 125 -tel, ha az utolsó három számjegyéből álló háromjegyű szám osztható 125 -tel.
Egy természetes szám 8 -cal osztva ugyanannyit ad maradékul, mint amennyit az utolsó három számjegyéből álló szám.
Pl.:
25 472 = 25 000 + 472 és 472 = 59 · 8 + 0 , tehát a 25 472 8 -as maradéka 0 ,
25 469 = 25 000 + 469 és 469 = 58 · 8 + 5 , tehát a 25 469 8 -as maradéka 5 .
Hasonlóan megmutatható, hogy egy természetes szám 40 -nel, 125 -tel, 200 -zal, 250 -nel, 500 -zal és 1000 -rel osztva ugyanannyit ad maradékul, mint amennyit az utolsó három számjegyéből álló szám.
Mennyi maradékot ad a 276 és az 1276,
a)
125 -tel;
b)
200 -zal;
c)
500 -zal osztva?
a)
276 = 2 · 125 +   26       1276 = 1000 + 276 = 8 · 125 + 2 · 125 + 26
b)
276 = 1 · 200 +   76       1276 = 1000 + 276 = 5 · 200 + 1 · 200 + 76
c)
276 = 0 · 500 + 276       1276 = 1000 + 276 = 2 · 500 + 276
A maradékokat szemléltethetjük számegyenesen:
Feladatok
1.
a)
Hová kerülne a halmazábrán a 10 000 -rel osztható számok halmaza?
b)
Írjunk igaz, illetve hamis állításokat a halmazábra alapján!

2.
a)
Soroljuk fel azokat a kétjegyű számokat, amelyek a 4 -gyel osztható számok végződései lehetnek!
b)
Mely számokkal oszthatók azok a számok, melyek a következő háromjegyű számokra végződnek: 000,  125,  250,  375,  500,  625,  750,  875 ?
3.
Soroljuk fel azokat a 125 -tel osztható számokat, amelyek nem kisebbek, mint 14 500 , és nem nagyobbak, mint 16 000 ! Hány ilyen szám van?
4.
Soroljuk fel azokat a 25 -tel osztható számokat, amelyek nem kisebbek 570 -nél, de nem nagyobbak 850 -nél!
5.
Állapítsuk meg a   783;  3689;  4592;  7840;  11 999   számok
a)
2 -es;
b)
4 -es;
c)
5 -ös;
d)
8 -as;
e)
25 -ös;
f)
125 -ös maradékát!
6.
Mennyi a   2787 + 3058 + 12 429   összeg
a)
2 -es;
b)
4 -es;
c)
5 -ös;
d)
25 -ös;
e)
125 -ös;
f)
8 -as maradéka?
7.
Készítsünk a füzetbe az itt láthatóhoz hasonló hal­maz­áb­rát, és írjuk bele a következő számokat!
0 ;   17 ;   45 ;   72 ;   30 ;   85 ;   160 ;   449 ;   328 ;  
135 ;   794 ;   225 ;   900 .
Fogalmazzuk meg, milyen tulajdonságú számok ke­rül­tek a két halmaz közös részébe!
8.
Készítsünk a füzetbe az itt láthatóhoz hasonló hal­maz­áb­rát, és írjuk bele a következő számokat!
7356 ;   8300 ;   94 050 ;   3024 ;   875 ;   4445 ;  
1932 ;   15 000 ;   18 ;   74 ;   125 ;   70 900 ;   94 .
Fogalmazzuk meg, milyen tulajdonságú számok kerültek a két halmaz közös részébe!
9.
Készítsünk a füzetbe az itt láthatóhoz hasonló hal­maz­áb­rát, és írjuk bele a következő számokat!
4728 ;   152 ;   64 ;   1250 ;   6112 ;   415 ;   0 ;   94 375 ;  
17 000 ;   500 ;   63 056 ;   16 875 ;   230000.
Fogalmazzuk meg, milyen tulajdonságú számok kerültek a két halmaz közös részébe!

10.
Jelöljük halmazábrán a 4 -gyel és 8 -cal osztható számok halmazát, majd írjuk be a következő számokat! Mit vehetünk észre?
56 ;   20 ;   100 ;   172 ;   256 ;   7344 ;   9040 ;   13 912 ;   25 000 ;   528 ;   403 000 ;   1 ;   680 516 ;   0 .
11.
Állapítsuk meg a következő számok hiányzó számjegyeit úgy, hogy 4 -gyel és 5 -tel is oszthatók legyenek! Mit állapíthatunk meg a 4 -gyel és 5 -tel osztható számokról?
a)
3 0     =      
b)
7 85     =
12.
A számkártyákból képezzük az összes lehetséges háromjegyű számot! Készítsünk halmazábrát, jelöljük a 2 -vel és az 5 -tel osztható számok halmazát, és írjuk be a számokat!
13.
A számkártyákból alkossunk
a)
4 -gyel osztható háromjegyű számokat! Ezek közül melyek oszthatók 5 -tel is?
Mit mondhatunk a 4 -gyel is és 5 -tel is osztható számokról?
b)
5 -tel, 25 -tel és 50 -nel osztható háromjegyű számokat, és írjuk ezeket halmazábrába! Mondjunk igaz állításokat a halmazábra alapján!
14.
Döntsük el, hogy az alábbi állítások közül melyik igaz, melyik hamis!
a)
Ha egy szám utolsó két számjegyéből álló szám osztható 4 -gyel, akkor maga a szám is osztható 4 -gyel.
b)
Egy szám akkor osztható 4 -gyel, ha utolsó két számjegye osztható 4 -gyel.
c)
Ha egy szám 4 -gyel és 5 -tel is osztható, akkor 20 -szal is osztható.
d)
Ha egy szám 4 -gyel és 2 -vel is osztható, akkor 8 -cal is osztható.
15.
Döntsük el, hogy az alábbi állítások közül melyik igaz, melyik hamis!
a)
Ha egy szám osztható 50 -nel, akkor 5 -tel is osztható.
b)
Minden 25 -tel osztható szám 50 -nel is osztható.
c)
Ha egy szám többszöröse 25 -nek, akkor 5 -nek is többszöröse.
d)
Van olyan 25 -tel osztható szám, amelynek minden számjegye páratlan.
16.
Egy országos matematikaverseny szervezői tréfás kiszámolóba rejtve közölték a résztvevőkkel, hogy mi a fődíj. „Számoljatok balról jobbra és jobbról balra egyesével 1 -től kezdve a következő módon: 1 . A,   2. B,   3. C,   4. D,   5. E,   6. D,   7. C,   8. B,   9. A,   10. B,   11. C   ...!
Ha így haladtok tovább, akkor 1000 -hez érve éppen a fődíjra mutattok.” Mi a verseny fődíja?
R e j t v é n y
Egy vastag könyvből kiesett néhány egymás után következő lap. A legelső a 143. oldal volt, a legutolsó kiesett oldalon pedig ugyanezek a számjegyek szerepeltek, csak más sorrendben. Hány lap esett ki a könyvből?
于该课程相关的附加项

Added to your cart.